Giới tính:Nam
Đến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)
CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM- VI PHÂN- ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa- Tính chất
1.1. Đạo hàm
Cho hàm số $y=f(x)$ xá định trong miền $X$, đạo hàm của hàm $f(x):$
$y"=f"(x)=lim_Delta x o 0fracDelta yDelta x=lim_Delta x o 0fracf(x+Delta x)-f(x)Delta x,$$x, epsilon , X$
Đạo hàm bên phải:$f"(x^+)=lim_Delta x o 0^+fracDelta yDelta x$
Đạo hàm bên trái: $f"(x^-)=lim_Delta x o 0^-fracDelta yDelta x$
Về hình học: $f"(x_0)$ là hệ số góc của tiếp đường với thứ thị của hàm số tại $(x_0, f(x_0))$.
Bạn đang xem: Đạo hàm và vi phân
1.2. Vi phân
$y=f(x)$ hotline là khả vi trên $x, epsilon , X$$Leftrightarrow dy=f"(x)dxLeftrightarrow fracdydx=f"(x)$
1.3. Tính chất
1.3.1$f(x)$ khả vi tại$xLeftrightarrow exists: f"(x)$
1.3.2$f(x)$ khả vi tại$xRightarrow f(x)$ thường xuyên tại $x$
1.3.3$f(x)$ khả vi tại $x$ và đạt rất trị tại$xRightarrow f"(x)=0$
1.4 Đạo hàm cùng vi phân cao cấp
Định nghĩa:$y=f(x)$,$y^(n)=(y^n-1)", : fracd^nydx^n=fracddx(fracd^n-1ydx^n-1)$,$n, epsilon , mathbbN^*$
Quy tắc tính:
$$(u+v)^(n)=u^(n)+v^(n)$$
$$(uv)^(n)=sum_k=0^nC_n^k, u^(n-k), v^(k)$$
1.5. Công thức thông dụng
$+: (x^alpha )^(n)=alpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n+1)x^alpha -n$
$+: (sinx)^(n)=sin(x+fracnpi2)$
$+: (cosx)^(n)=cos(x+fracnpi2)$
$+: (a^x)^(n)=a^x(lna)^n$
$+: (log_ax)^(n)=frac(-1)^n-1(n-1)!lna.x^n$
$+: (lnx)^(n)=frac(-1)^n-1(n-1)!x^n$
2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI
2.1 các định lý trung bình
Định lý Rolle
Nếu $f(x)$ thường xuyên trên đoạn $$, khả vi trong khoảng $(a;b)$ với $f(a)=f(b)$ thì$exists c: epsilon :(a;b):: f"(c: )=0$
Bài tập vận dụng:
$*): left{eginmatrixa_0 eq 0\a_0+fraca_12+....+fraca_nn+1=0 endmatrix ight.$
CMR: PT $f(x)=a_0+ a_1x+...+a_nx^n=0$ tất cả nghiệm trong vòng $(0;1)$
Giải:
Nguyên hàm của $f(x): F(x)=a_0x+fraca_1x^22+....+fraca_nx^n+1n+1$ thường xuyên trên đoạn $<0;1>$, khả vi trong vòng $(0;1)$
Dễ thấy $F(0)=F(1) o : f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(0;1)$
Định lý Lagrange
Nếu $f(x)$ thường xuyên trên đoạn $$, khả vi trong tầm $(a;b)$ thì$exists c: varepsilon : (a;b): : f(b)-f(a)=(b-a)f"(c: )$
Bài tập Vận dụng:
a) cho $m>0$ cùng 3 số thực $a,:b, : c$ tùy ý thỏa mãn: $$fracam+2+fracbm+1+fraccm=0$$
CRM: PT $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$
Giải:
Xét hàm số:$f(x)=fracax^m+2m+2+fracbx^m+1m+1+fraccx^mm, ::m>0$ tiếp tục trên đoạn $<0;1>$, khả vi trong khoảng $(0;1)$
Ta có: $f"(x)=ax^m+1+bx^m+cx^m-1$
Theo định lý Lagrange, tồn tại$x_0:epsilon :(0;1)$ sao cho:
$fracf(1)-f(0)1-0=f"(x_0)=0Leftrightarrow x_0^m-1(ax^2+bx+c)=0$
Mà $x_0:epsilon :(0;1)$ đề xuất $ax_0^2+bx_0+c=0$
Vậy phương trình $ax^2+bx+c=0$ có tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng tầm $(0;1)$
b) chứng tỏ bất đẳng thức sau:
$|sina-sinb|leq |a-b|$
Giải:
Xét hàm số $f(x)=sinx$ thì $f(t)$ vừa lòng mọi đk của định lý Lagrange trong khúc $$
Vậy $f(a)-f(b)=f"(c: )(a-b)$$Leftrightarrow sina-sinb=(a-b)coscLeftrightarrow |sina-sinb|=|(a-b)cosc|leq |a-b|$ vày |coscleq 1|
Định lý Cauchy
Nếu $f(x), : g(x)$ liên tục trên đoạn $$, khả vi trong tầm $(a;b)$ cùng $g"(x) eq 0$ trong $(a;b)$ thì$exists c: epsilon : (a;b):: fracf(b)-f(a)g(b)-g(a)=fracf"(c: )g"(c: )$
Bài tập Vận dụng:
Cho hàm$f(x)=x^2,: g(x)=x$ trong đoạn $<-1;1>$
Giải:
Hàm $f(x),: g(x)$ tiếp tục trong $<-1;1>$ và khả vi trong khoản $(-1;1)$ với $g"(x) eq 0$ trong $(-1;1)$
Áp dụng định lý Cauchy
$fracf(1)-f(-1)g(1)-g(-1)=fracf"(c: )g(c: )Leftrightarrow frac02=frac2c1Leftrightarrow c=0$
Định lý L"Hôpital( khử dạng vô định $frac00, : fracinfty infty $)
Nếu $f(x), : g(x)$ thỏa mãn nhu cầu các điều kiện của định lý Cauchy trong sát bên của $x_0:epsilon :mathbbR^~$, trừ trên $x_0$$lim_x o x_0 f(x)=lim_x o x_0 g(x)=0 : (infty )$ và$lim_x o x_0 fracf"(x)g"(x)=a: (a: epsilon : mathbbR^~)$ thì$lim_x o x_0 fracf(x)g(x)=a$
Bài tập Vận dụng:
Tìm giới hạn:
$$lim_x o 0fractgx-xx-sinx$$
Giải:
$lim_x o 0tgx-x=0, : lim_x o 0x-sinx=0$ nên vận dụng định lý L"hôpital
$lim_x o 0fractgx-xx-sinx=lim_x o 0fracfrac1cos^2x-11-cosx=lim_x o 0frac1+cosxcos^2x=2$
2.2. Phương pháp Taylor và Maclaurin
Nếu hàm $y=f(x)$ khả vi $n+1$ lần thứ ở bên cạnh của điểm $x_0$ thì trong sát bên của $x_0$, ta có công thức:
$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+R_n(x)$
gọi làcông thức Taylorcấp $n$
Với $R_n(x)=fracf^(n+1)(c: )(n+1)!(x-x_0)^(n+1)$ là số hạng dư dạngLagrange
Đặc biệt$x_0=0$ thì $f(x)=f(0)+fracf"(x_0)1!x+fracf""(x_0)2!x^2+...+fracf^(n)(x_0)n!x-^n+R_n(x)$
gọi là công thứcMaclaurincấp $n$
$*)$ các khai triển thường dùng theo bí quyết Maclaurin:
$a): e^x=1+fracx1!+fracx^22!+...+fracx^nn!+frace^ heta x: x^n+1(n+1)!$
$b): sinx=x-fracx^33!+fracx^55!+...+(-1)^m-1fracx^2m-1(2m-1)!+...+sin(fracnpi2): fracx^nn!+sin< heta x+(n+1)fracpi2>:fracx^n+1(n+1)!$
$c): cosx=1-fracx^22!+fracx^44!+...+(-1)^mfracx^2m(2m)!+...+cos(fracnpi2): fracx^nn!+cos< heta x+(n+1)fracpi2>:fracx^n+1(n+1)!$
$d): (1+x)^alpha =1+alpha x+fracalpha (alpha -1)2!x^2+...+fracalpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n+1)n!x^n+fracalpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n)(n+1)!(1+ heta x)^alpha -n-1x^n+1,: : alpha : epsilon : mathbbR,: 0
$ extCứ làm việc siêng năng trong im lặng$
$ extHãy để thành công xuất sắc trở thành tiếng nói của bạn$
#2
Mrnhan

Mrnhan
$\textUchiha Itachi$
Thành viên1100 bài xích viếtGiới tính:Nam
Đến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)
CHƯƠNG II: THÍCH PHÂN
I. Tích phân bất định
1. Khái niệm
1.1. Nguyên hàm
$F(x)$ gọi là một trong nguyên hàm của $f()x$ vào miền nếu $F"(x)=f(x)$ xuất xắc $d
F(x)=f(x): forall x: epsilon : X$
1.2. Tích phân cô động của $f(x)$ trong $X$
$$int f(x)dx=F(x)+C$$
Với $F(x)$ là 1 nguyên hàm của $f(x)$ với $C=const$
1.3. Tính chất
$a): int
$b): int Cf(x)dx=Cint f(x)dx$
$c): int f(u)du=F(u)+C, :: u=u(x)$
VD: Tính tích phân
$int frac1cos^6xdx=tgx+frac2tg^3x3+fractg^55+C$
2. Tích phân các hàm hữu tỉ
2.1 phương pháp chung
Hàm hữu tỉ gồm dạng:$f(x)=fracP_n(x)Q_m(x)$
Với $P_n(x), : Q_m(x)$ là các đa thức bậc $n, :m$ của $x$
$nVD:Tính tích phân:
$$I=int frac1(1+x^4)^2$$
Giải:
$Q_1(x)=Q_2(x)=1+x^4$
Do đó:
$I=int frac1(1+x^4)^2dx=fracAx^3+Bx^2+Cx+D1+x^4+intfracEx^3+Fx^2+Gx+H1+x^4$
Đạo hàm 2 vế theo x và nhất quán các hệ số của thuộc lũy thừa ở cả 2 vế, ta có:
$1=(3Ax^2+2Bx+C)(1+x^4)-4x^3(Ax^3+Bx^2+Cx+D)+(1+x^4)(Ex^3+Fx^2+Gx+H) o left{eginmatrix A=B=D=E=F=G=0\C=frac14,: H=frac34endmatrix ight.$
$ o I=fracx4(1+x^4)+int frac3x4(1+x^4)dx=fracx4(1+x^4)+frac316sqrt2ln(fracx^2+xsqrt2+1x^2-xsqrt2+1)+frac38sqrt2arctg(fracxsqrt21-x^2)+C$
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. định nghĩa cơ bản
1.1. Định nghĩa
Tích phân xác định của hàm $f(x)$ khẳng định và bị chặn trên đoạn $$:
$int _a^b f(x)dx=lim_max Delta x_i o 0sum_i=1^nf(zeta _i)Delta x_i=lim_max Delta x_i o 0I_n$
Với một cách chia ngẫu nhiên đoạn $$
$a=x_1
$I=int_a^bf(x)dx$, cùng với $f(x)>0$ bên trên đoạn $$ là:
- khối lượng của đoạn $$ với mật độ khối lượng (dài )$f(x)$
- Công của lực bao gồm đọ mập $f(x)>0$ chức năng vào một vật chuyển động thẳng từ bỏ $x=a o x=b$.
1.4. Tính chất
$a): int_a^b
$b): int_a^b Cf(x)dx=Cint_a^b f(x)dx$
$c): int_a^b f(u)du=F(u)+C, :: u=u(x)$
2. Đạo hàm theo cận trên- bí quyết Newton-Leibniz- phương pháp tính cơ bản
2.1 Đạo hàm theo cận trên
- nếu như $F(x)$ khả tích bên trên $$ thì $I(x)=int_a^xf(t)dt$ là 1 trong hàm liên tiếp trên $$
- trường hợp thêm đk $f(t)$ liên tục tại $t=x:epsilon:$ thì $I"(x)=f(t)$
- phần đa hàm thường xuyên trên $$ đều sở hữu nghuyên hàm bên trên đoạn đó.
2.2. Công thức Newton-Leibniz
Nếu $f(x)$ tiếp tục trên $$ thì$int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$
Với $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $.$
2.3. Phương thức tính tích phân.
- phương pháp từng phần:
Nếu các hàm $u(x): v(x)$ khả vi liên tục trên đoạn $$ thì:
$int_a^budv=(uv)|_a^b-int_a^bvdu$
- cách thức đỏi biến:
Để tính$I=int_a^bf(x)dx$, $f(x)$ tiếp tục trên $$, để $x=x(t),: alphaleq tleqeta$, thỏa mãn:
$x(t)$ cùng $x"(t)$ tiếp tục trong $ Xem thêm: Hướng dẫn cách làm đệm lót sinh học trong chăn nuôi đơn giản, dễ làm
$x(alpha)=a;: x(eta)=b$ thì$int_a^bf(x)dx=int_alpha^etaf(x(t))x"(t)dt$
3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
3.1. Tính diện tích s mặt phẳng
Diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi những đường lên tục $y=f(x), : x=a, : x=b$ và trục $Ox$
$S=int_a^b|f(x)|dx$
Nếu hình số lượng giới hạn bởi $aleq xleq b,: y_1leq yleq y_2$ thì:
$S=int_a^b(y_2-y_1)dx$
Nếu đường thẳng $y=f(x)$ mang đến dưới dang thông số $x=x(t), : y=y(t), : alpha leq t leq eta$ ứng cùng với $aleq xleq b$ thì:
$S=int_a^b|y(t)x"(t)|dt$
Nếu mặt đường thẳng $x=x(t),: y=y(t), 0leq tleq T$ là đường kín đáo liên tục, chạy ngược kim đồng hồ thời trang và dưới hạn diện tích $S$ với phía trái thì:
$S=-int_0^Ty(t)x"(t)dt=int_0^Tx(t)y"(t)dt o S=frac12
Trong tọa độ độc cực, diện tích $S$ của hình giới hạn bởi các tia:$varphi =alpha,: varphi =eta$ và đường thẳng$r=r(varphi )$ là:
$S=frac12int_alpha^etar^2(varphi )dvarphi$
3.2. Tính độ dài mặt đường cong
Độ dài $s$ của cung con đường cong$widehatAB:: y=y(x),: y"(x)$ liên tục, $aleq xleq b:$
$s=int_a^bsqrt1+y"^2_xdx$
Nếu $widehatAB$ có phương trình thông số $x=x(t), : y=y(t), : alpha leq t leq eta$ ứng cùng với $aleq xleq b$ thì:
$s=int_alpha ^eta sqrtx"^2_t+y"^2_t: dt$
Trong tọa độ cực dài của $AB$: $r=r(varphi )$$alpha leq varphi leq eta:$
$s=int_alpha ^eta sqrtr^2+r"^2_varphi: dvarphi$
3.3. Tính thể tích
3.3.1. Thể tích các khối khi quay quanh $Ox$
Thể tích $V_x$ của khối tròn luân chuyển sinh bởi diện tích $S$ số lượng giới hạn $y=f(x)$, trục $Ox$, 2 con đường $y==f(x),: y=g(x)$ các cận $x=a,: x=b$ khi xoay quanh trục $Ox$ là tín hiệu của thể tích phía bên ngoài trừ đi thể tích phần lõi ở bên trong. Trả sử $)
3.3.2. Thể tích những khối khi quay quanh $Oy$
Thể tích $V_y$ sinh ra vị $S$ giới hạn bởi $y=f(x),: Oy,: y=m,: y=n$ khi xoay quanh $Oy$
$V_y=pi int_m^n
Thể tích $V_y$ sinh ra vì chưng $S$ số lượng giới hạn bởi $y=f(x),: y=g(x), y=m,:y=n$ khi quay quanh $Oy$ là$V_y=int_m^n<(f^-1(x))^2-(g^-1(x))^2>dy$
Thể tích $V_y$ sinh ra vì chưng $S$ số lượng giới hạn bởi con đường cong bậc 2: $f(x,y)=0$. Tách đường cong thành 2 đường
$left
Tìm

Ta có:


Vậy

Do đó: f(x) không tồn tại đạo hàm tại x = 1.
2. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm
3. Những định lý về đạo hàm:
3.1 Định lý 1: ví như hàm số f(x) có đạo hàm trên

Chứng minh: vì f(x) có đạo hàm trên


Theo có mang giới hạn, ta gồm


Từ đó:

Do

Vì vậy:

Nghĩa là:

Hay:

Vậy: f(x) tiếp tục tại

– Chiều trái lại không vững chắc đúng: ta xét lại ví dụ như 1 làm việc trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm trên điểm đó.
– phản bội ví dụ 2: Xét hàm số

3.2 Định lý 2: (quy tắc tính đạo hàm)
Nếu u(x) và v(x) là những hàm tất cả đạo hàm trên x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm trên x và ta có các công thức:
1.

2.

3.

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)
Nếu








Tổng quát:

Chứng minh:
Ta có:

Từ quan niệm giới hạn, ta suy ra:

trong đó


Viết lại đẳng thức (*) ta có:

Chia 2 vế của (3) mang lại


Mặt khác, bởi :



Vậy:

Mà:

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)
Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng phát triển thành (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) gồm đạo hàm tại





Chứng minh:
Vì f(x) là hàm đồng đổi mới (nghịch biến) trong tầm (a,b) buộc phải tồn tại tuyệt nhất hàm ngược
