Giải Thích Bản Chất Của Đạo Hàm Và Vi Phân Và Vi Phân, Vi Phân Là Gì

Thành viên1100 bài bác viết
Giới tính:Nam
Đến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)

CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM- VI PHÂN- ỨNG DỤNG

1. Định nghĩa- Tính chất

1.1. Đạo hàm

Cho hàm số $y=f(x)$ xá định trong miền $X$, đạo hàm của hàm $f(x):$

$y"=f"(x)=lim_Delta x o 0fracDelta yDelta x=lim_Delta x o 0fracf(x+Delta x)-f(x)Delta x,$$x, epsilon , X$

Đạo hàm bên phải:$f"(x^+)=lim_Delta x o 0^+fracDelta yDelta x$

Đạo hàm bên trái: $f"(x^-)=lim_Delta x o 0^-fracDelta yDelta x$

Về hình học: $f"(x_0)$ là hệ số góc của tiếp đường với thứ thị của hàm số tại $(x_0, f(x_0))$.

Bạn đang xem: Đạo hàm và vi phân

1.2. Vi phân

$y=f(x)$ hotline là khả vi trên $x, epsilon , X$$Leftrightarrow dy=f"(x)dxLeftrightarrow fracdydx=f"(x)$

1.3. Tính chất

1.3.1$f(x)$ khả vi tại$xLeftrightarrow exists: f"(x)$

1.3.2$f(x)$ khả vi tại$xRightarrow f(x)$ thường xuyên tại $x$

1.3.3$f(x)$ khả vi tại $x$ và đạt rất trị tại$xRightarrow f"(x)=0$

1.4 Đạo hàm cùng vi phân cao cấp

Định nghĩa:$y=f(x)$,$y^(n)=(y^n-1)", : fracd^nydx^n=fracddx(fracd^n-1ydx^n-1)$,$n, epsilon , mathbbN^*$

Quy tắc tính:

$$(u+v)^(n)=u^(n)+v^(n)$$

$$(uv)^(n)=sum_k=0^nC_n^k, u^(n-k), v^(k)$$

1.5. Công thức thông dụng

$+: (x^alpha )^(n)=alpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n+1)x^alpha -n$

$+: (sinx)^(n)=sin(x+fracnpi2)$

$+: (cosx)^(n)=cos(x+fracnpi2)$

$+: (a^x)^(n)=a^x(lna)^n$

$+: (log_ax)^(n)=frac(-1)^n-1(n-1)!lna.x^n$

$+: (lnx)^(n)=frac(-1)^n-1(n-1)!x^n$

2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI

2.1 các định lý trung bình

Định lý Rolle

Nếu $f(x)$ thường xuyên trên đoạn $$, khả vi trong khoảng $(a;b)$ với $f(a)=f(b)$ thì$exists c: epsilon :(a;b):: f"(c: )=0$

Bài tập vận dụng:

$*): left{eginmatrixa_0 eq 0\a_0+fraca_12+....+fraca_nn+1=0 endmatrix ight.$

CMR: PT $f(x)=a_0+ a_1x+...+a_nx^n=0$ tất cả nghiệm trong vòng $(0;1)$

Giải:

Nguyên hàm của $f(x): F(x)=a_0x+fraca_1x^22+....+fraca_nx^n+1n+1$ thường xuyên trên đoạn $<0;1>$, khả vi trong vòng $(0;1)$

Dễ thấy $F(0)=F(1) o : f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(0;1)$

Định lý Lagrange

Nếu $f(x)$ thường xuyên trên đoạn $$, khả vi trong tầm $(a;b)$ thì$exists c: varepsilon : (a;b): : f(b)-f(a)=(b-a)f"(c: )$

Bài tập Vận dụng:

a) cho $m>0$ cùng 3 số thực $a,:b, : c$ tùy ý thỏa mãn: $$fracam+2+fracbm+1+fraccm=0$$

CRM: PT $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$

Giải:

Xét hàm số:$f(x)=fracax^m+2m+2+fracbx^m+1m+1+fraccx^mm, ::m>0$ tiếp tục trên đoạn $<0;1>$, khả vi trong khoảng $(0;1)$

Ta có: $f"(x)=ax^m+1+bx^m+cx^m-1$

Theo định lý Lagrange, tồn tại$x_0:epsilon :(0;1)$ sao cho:

$fracf(1)-f(0)1-0=f"(x_0)=0Leftrightarrow x_0^m-1(ax^2+bx+c)=0$

Mà $x_0:epsilon :(0;1)$ đề xuất $ax_0^2+bx_0+c=0$

Vậy phương trình $ax^2+bx+c=0$ có tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng tầm $(0;1)$

b) chứng tỏ bất đẳng thức sau:

$|sina-sinb|leq |a-b|$

Giải:

Xét hàm số $f(x)=sinx$ thì $f(t)$ vừa lòng mọi đk của định lý Lagrange trong khúc $$

Vậy $f(a)-f(b)=f"(c: )(a-b)$$Leftrightarrow sina-sinb=(a-b)coscLeftrightarrow |sina-sinb|=|(a-b)cosc|leq |a-b|$ vày |coscleq 1|

Định lý Cauchy

Nếu $f(x), : g(x)$ liên tục trên đoạn $$, khả vi trong tầm $(a;b)$ cùng $g"(x) eq 0$ trong $(a;b)$ thì$exists c: epsilon : (a;b):: fracf(b)-f(a)g(b)-g(a)=fracf"(c: )g"(c: )$

Bài tập Vận dụng:

Cho hàm$f(x)=x^2,: g(x)=x$ trong đoạn $<-1;1>$

Giải:

Hàm $f(x),: g(x)$ tiếp tục trong $<-1;1>$ và khả vi trong khoản $(-1;1)$ với $g"(x) eq 0$ trong $(-1;1)$

Áp dụng định lý Cauchy

$fracf(1)-f(-1)g(1)-g(-1)=fracf"(c: )g(c: )Leftrightarrow frac02=frac2c1Leftrightarrow c=0$

Định lý L"Hôpital( khử dạng vô định $frac00, : fracinfty infty $)

Nếu $f(x), : g(x)$ thỏa mãn nhu cầu các điều kiện của định lý Cauchy trong sát bên của $x_0:epsilon :mathbbR^~$, trừ trên $x_0$$lim_x o x_0 f(x)=lim_x o x_0 g(x)=0 : (infty )$ và$lim_x o x_0 fracf"(x)g"(x)=a: (a: epsilon : mathbbR^~)$ thì$lim_x o x_0 fracf(x)g(x)=a$

Bài tập Vận dụng:

Tìm giới hạn:

$$lim_x o 0fractgx-xx-sinx$$

Giải:

$lim_x o 0tgx-x=0, : lim_x o 0x-sinx=0$ nên vận dụng định lý L"hôpital

$lim_x o 0fractgx-xx-sinx=lim_x o 0fracfrac1cos^2x-11-cosx=lim_x o 0frac1+cosxcos^2x=2$

2.2. Phương pháp Taylor và Maclaurin

Nếu hàm $y=f(x)$ khả vi $n+1$ lần thứ ở bên cạnh của điểm $x_0$ thì trong sát bên của $x_0$, ta có công thức:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+R_n(x)$

gọi làcông thức Taylorcấp $n$

Với $R_n(x)=fracf^(n+1)(c: )(n+1)!(x-x_0)^(n+1)$ là số hạng dư dạngLagrange

Đặc biệt$x_0=0$ thì $f(x)=f(0)+fracf"(x_0)1!x+fracf""(x_0)2!x^2+...+fracf^(n)(x_0)n!x-^n+R_n(x)$

gọi là công thứcMaclaurincấp $n$

$*)$ các khai triển thường dùng theo bí quyết Maclaurin:

$a): e^x=1+fracx1!+fracx^22!+...+fracx^nn!+frace^ heta x: x^n+1(n+1)!$

$b): sinx=x-fracx^33!+fracx^55!+...+(-1)^m-1fracx^2m-1(2m-1)!+...+sin(fracnpi2): fracx^nn!+sin< heta x+(n+1)fracpi2>:fracx^n+1(n+1)!$

$c): cosx=1-fracx^22!+fracx^44!+...+(-1)^mfracx^2m(2m)!+...+cos(fracnpi2): fracx^nn!+cos< heta x+(n+1)fracpi2>:fracx^n+1(n+1)!$

$d): (1+x)^alpha =1+alpha x+fracalpha (alpha -1)2!x^2+...+fracalpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n+1)n!x^n+fracalpha (alpha -1)(alpha -2)...(alpha -n)(n+1)!(1+ heta x)^alpha -n-1x^n+1,: : alpha : epsilon : mathbbR,: 0

$ extCứ làm việc siêng năng trong im lặng$

$ extHãy để thành công xuất sắc trở thành tiếng nói của bạn$

#2
Mrnhan

Mrnhan

$\textUchiha Itachi$

Thành viên1100 bài xích viết
Giới tính:Nam
Đến từ:$\mathbbHomeless$Sở thích:make someone happy :)

CHƯƠNG II: THÍCH PHÂN

I. Tích phân bất định

1. Khái niệm

1.1. Nguyên hàm

$F(x)$ gọi là một trong nguyên hàm của $f()x$ vào miền nếu $F"(x)=f(x)$ xuất xắc $d
F(x)=f(x): forall x: epsilon : X$

1.2. Tích phân cô động của $f(x)$ trong $X$

$$int f(x)dx=F(x)+C$$

Với $F(x)$ là 1 nguyên hàm của $f(x)$ với $C=const$

1.3. Tính chất

$a): int dx=int f(x)dx pmint g(x)dx$

$b): int Cf(x)dx=Cint f(x)dx$

$c): int f(u)du=F(u)+C, :: u=u(x)$

VD: Tính tích phân

$int frac1cos^6xdx=tgx+frac2tg^3x3+fractg^55+C$

2. Tích phân các hàm hữu tỉ

2.1 phương pháp chung

Hàm hữu tỉ gồm dạng:$f(x)=fracP_n(x)Q_m(x)$

Với $P_n(x), : Q_m(x)$ là các đa thức bậc $n, :m$ của $x$

$nVD:Tính tích phân:

$$I=int frac1(1+x^4)^2$$

Giải:

$Q_1(x)=Q_2(x)=1+x^4$

Do đó:

$I=int frac1(1+x^4)^2dx=fracAx^3+Bx^2+Cx+D1+x^4+intfracEx^3+Fx^2+Gx+H1+x^4$

Đạo hàm 2 vế theo x và nhất quán các hệ số của thuộc lũy thừa ở cả 2 vế, ta có:

$1=(3Ax^2+2Bx+C)(1+x^4)-4x^3(Ax^3+Bx^2+Cx+D)+(1+x^4)(Ex^3+Fx^2+Gx+H) o left{eginmatrix A=B=D=E=F=G=0\C=frac14,: H=frac34endmatrix ight.$

$ o I=fracx4(1+x^4)+int frac3x4(1+x^4)dx=fracx4(1+x^4)+frac316sqrt2ln(fracx^2+xsqrt2+1x^2-xsqrt2+1)+frac38sqrt2arctg(fracxsqrt21-x^2)+C$

II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. định nghĩa cơ bản

1.1. Định nghĩa

Tích phân xác định của hàm $f(x)$ khẳng định và bị chặn trên đoạn $$:

$int _a^b f(x)dx=lim_max Delta x_i o 0sum_i=1^nf(zeta _i)Delta x_i=lim_max Delta x_i o 0I_n$

Với một cách chia ngẫu nhiên đoạn $$

$a=x_1

$I=int_a^bf(x)dx$, cùng với $f(x)>0$ bên trên đoạn $$ là:

- khối lượng của đoạn $$ với mật độ khối lượng (dài )$f(x)$

- Công của lực bao gồm đọ mập $f(x)>0$ chức năng vào một vật chuyển động thẳng từ bỏ $x=a o x=b$.

1.4. Tính chất

$a): int_a^b dx=int_a^b f(x)dx pmint_a^b g(x)dx$

$b): int_a^b Cf(x)dx=Cint_a^b f(x)dx$

$c): int_a^b f(u)du=F(u)+C, :: u=u(x)$

2. Đạo hàm theo cận trên- bí quyết Newton-Leibniz- phương pháp tính cơ bản

2.1 Đạo hàm theo cận trên

- nếu như $F(x)$ khả tích bên trên $$ thì $I(x)=int_a^xf(t)dt$ là 1 trong hàm liên tiếp trên $$

- trường hợp thêm đk $f(t)$ liên tục tại $t=x:epsilon:$ thì $I"(x)=f(t)$

- phần đa hàm thường xuyên trên $$ đều sở hữu nghuyên hàm bên trên đoạn đó.

2.2. Công thức Newton-Leibniz

Nếu $f(x)$ tiếp tục trên $$ thì$int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

Với $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $.$

2.3. Phương thức tính tích phân.

- phương pháp từng phần:

Nếu các hàm $u(x): v(x)$ khả vi liên tục trên đoạn $$ thì:

$int_a^budv=(uv)|_a^b-int_a^bvdu$

- cách thức đỏi biến:

Để tính$I=int_a^bf(x)dx$, $f(x)$ tiếp tục trên $$, để $x=x(t),: alphaleq tleqeta$, thỏa mãn:

$x(t)$ cùng $x"(t)$ tiếp tục trong $$, $alphaleq tleqeta o aleq xleq b$.

Xem thêm: Hướng dẫn cách làm đệm lót sinh học trong chăn nuôi đơn giản, dễ làm

$x(alpha)=a;: x(eta)=b$ thì$int_a^bf(x)dx=int_alpha^etaf(x(t))x"(t)dt$

3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3.1. Tính diện tích s mặt phẳng

Diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi những đường lên tục $y=f(x), : x=a, : x=b$ và trục $Ox$

$S=int_a^b|f(x)|dx$

Nếu hình số lượng giới hạn bởi $aleq xleq b,: y_1leq yleq y_2$ thì:

$S=int_a^b(y_2-y_1)dx$

Nếu đường thẳng $y=f(x)$ mang đến dưới dang thông số $x=x(t), : y=y(t), : alpha leq t leq eta$ ứng cùng với $aleq xleq b$ thì:

$S=int_a^b|y(t)x"(t)|dt$

Nếu mặt đường thẳng $x=x(t),: y=y(t), 0leq tleq T$ là đường kín đáo liên tục, chạy ngược kim đồng hồ thời trang và dưới hạn diện tích $S$ với phía trái thì:

$S=-int_0^Ty(t)x"(t)dt=int_0^Tx(t)y"(t)dt o S=frac12 dt$

Trong tọa độ độc cực, diện tích $S$ của hình giới hạn bởi các tia:$varphi =alpha,: varphi =eta$ và đường thẳng$r=r(varphi )$ là:

$S=frac12int_alpha^etar^2(varphi )dvarphi$

3.2. Tính độ dài mặt đường cong

Độ dài $s$ của cung con đường cong$widehatAB:: y=y(x),: y"(x)$ liên tục, $aleq xleq b:$

$s=int_a^bsqrt1+y"^2_xdx$

Nếu $widehatAB$ có phương trình thông số $x=x(t), : y=y(t), : alpha leq t leq eta$ ứng cùng với $aleq xleq b$ thì:

$s=int_alpha ^eta sqrtx"^2_t+y"^2_t: dt$

Trong tọa độ cực dài của $AB$: $r=r(varphi )$$alpha leq varphi leq eta:$

$s=int_alpha ^eta sqrtr^2+r"^2_varphi: dvarphi$

3.3. Tính thể tích

3.3.1. Thể tích các khối khi quay quanh $Ox$

Thể tích $V_x$ của khối tròn luân chuyển sinh bởi diện tích $S$ số lượng giới hạn $y=f(x)$, trục $Ox$, 2 con đường $y==f(x),: y=g(x)$ các cận $x=a,: x=b$ khi xoay quanh trục $Ox$ là tín hiệu của thể tích phía bên ngoài trừ đi thể tích phần lõi ở bên trong. Trả sử $)

3.3.2. Thể tích những khối khi quay quanh $Oy$

Thể tích $V_y$ sinh ra vị $S$ giới hạn bởi $y=f(x),: Oy,: y=m,: y=n$ khi xoay quanh $Oy$

$V_y=pi int_m^n^2dy$

Thể tích $V_y$ sinh ra vì chưng $S$ số lượng giới hạn bởi $y=f(x),: y=g(x), y=m,:y=n$ khi quay quanh $Oy$ là$V_y=int_m^n<(f^-1(x))^2-(g^-1(x))^2>dy$

Thể tích $V_y$ sinh ra vì chưng $S$ số lượng giới hạn bởi con đường cong bậc 2: $f(x,y)=0$. Tách đường cong thành 2 đường

$left^2-^2 1 \\ \endarray \right. " class="latex" />

Tìm

Ta có:

Vậy

Do đó: f(x) không tồn tại đạo hàm tại x = 1.

2. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

3. Những định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: ví như hàm số f(x) có đạo hàm trên

thì f(x) liên tiếp tại điểm đó. (Chiều trái lại chưa có thể đúng).

Chứng minh: vì f(x) có đạo hàm trên

nên:

Theo có mang giới hạn, ta gồm

(

Từ đó:

Vì vậy:

Nghĩa là:

Hay:

Vậy: f(x) tiếp tục tại

– Chiều trái lại không vững chắc đúng: ta xét lại ví dụ như 1 làm việc trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm trên điểm đó.

– phản bội ví dụ 2: Xét hàm số