1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5.1.1. Tích phân kép 5.1.1. Quan niệm tích phân kép 1. Định nghĩa mang lại hàm số f(x,y) xác minh trên miền đóng, bị ngăn D. phân chia miền D một phương pháp tùy ý thành n mảnh nhỏ dại có diện tích ),1( ni
S i trong mỗi mảnh, lấy 1 điều tùy ý M i (x i ,y i ) ),1( ni Tổng I n = i n i ii Syxf ),( 1 được hotline là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm số f(x,y) trong miền D. nếu như n d I 0 lim lâu dài không phụ thuộc vào phương pháp chia miền D và biện pháp lấy điểm M i trong những mảnh thì nó được điện thoại tư vấn là TÍCH PHÂN KÉP của hàm số f(x,y) trong miền D và ký hiệu: I = D d
Syxf ),( o D : miền lấy tích phân o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân o d
S : yếu tố diện tích ghi chú : Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) điện thoại tư vấn là khả tích bên trên miền D. Nếu phân chia miền D bởi 2 họ đường thẳng tuy nhiên song với những trục tọa độ thì d
S = dxdy cần : I = D dxdyyxf ),( 2. Định lý: giả dụ f(x,y) liên tiếp trong miền bị đóng với bị ngăn D thì f(x,y) khả tích bên trên miền D 3. Tính chất: (1) DDD dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()>,(),(< (2) DD dxdyyxfkdxdyyxkf ),(),( (3) nếu D bao gồm thể phân thành 2 miền D 1 cùng D 2 thì : 2 12 ),(),(),( DDD dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf (4) giả dụ f(x,y) g(x,y) , Dyx ),( thì DD dxdyyxgdxdyyxf ),(),( (5) trường hợp m f(x,y) M, Dyx ),( , m với M là hằng số thì m
S D MSdxdyyxf ),( cùng với S là diện tích của miền D. (6) nếu f(x,y) tiếp tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một điểm ),( yx làm thế nào cho Syxfdxdyyxf D ).,(),( cùng với S là diện tích của miền D. 5.1.2. Biện pháp tính tích phân kép 1. Trong tọa độ Đề
Các a. Miền rước tích phân l hình chữ nhật có những cạnh tuy vậy song với những trục tọa độ Tính I = D dxdyyxf ),( cùng với D = dycbxa
Ryx ,/),( 2 I= d c b a b a d c b a d c dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),( b. Miền rước tích phân là miền ngẫu nhiên D= )()(,/),( 21 2 xyyxybxa
Ryx với y 1 (x) cùng y 2 (x) liên tục trên
Ryx với x 1 (y) cùng x 2 (y) liên tục trên
O’uv làm thế nào để cho tương ứng (u,v) (x,y) là một tuy vậy ánh từ D’ mang lại D và định thức Jacobi: (, ) 0 (,) xx Dxy uv J yy Duv uv . Ta có công thức thay đổi biến số trong tích phân kép : dudv
Jvuyvuxfdxdyyxf DD //)>,(),,(<),( ' ví dụ như : D I dxdy , trong số ấy D số lượng giới hạn bởi các đường thẳng: y = 1 – x, y = 2 – x, y = 2x – 1, y = 2x – 3. Ta có các đường thẳng viết lại: x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3. Đặt 2 uxy vxy thì: J = 1 3 cùng (,):1 2;1 3 uv Duvu v Vậy: 23 11 12 dud 33 D Idxdy v . 5 r M (x,y) 2. Trong tọa độ tọa độ cực: Tọa độ cực : r = | OM | = ( Ox ,OM ) Công thức contact giữa tọa độ Đề-các và tọa độ cực sin cos ry rx coi x, giống như hàm 2 biến theo r cùng ta vận dụng công thức thay đổi biến số : J = 0 cossin sincos r r r I = DD rdrdrrfdxdyyxf ' )sin,cos(),( trường hợp D’ được khẳng định bởi với r 1 ( ) r r 2 ( ), ta có: I = D r r rdrrrfddxdyyxf )(2 )(1 )sin,cos(),( lấy một ví dụ 1 22 xy D I edxdy , cùng với D là hình tròn 22 2 x y
R . đưa sang hệ tọa độ cực, ta có: (, ):0 ;0 2 r Dr r
R vày đó: 22 2 2 00 drd (1 ) r R rr R D Iedrd e e . Chú ý: Nếu cần sử dụng phép đổi biến lịch sự tọa độ cưc suy rộng: os sin xarc J abr ybr lúc đó: (, ) (arcos, rsin) f x y dx dy f b abr dr d R R 6 ví dụ 2 Tính 22 sin 3 I x y dx dy R R là miền mang lại bởi: 222 2 4xy Giải: gửi sang tọa độ rất os 0 2 : sin 2 xrc RR yr r 22 2 2 s inr dr d ( osr) 3 00 2 2 2( osr sinr) 6 Ir drdc rc lấy một ví dụ 3 Tính 22 1 4 22 xy I dx dy R ab D là miền cho bởi: 22 1( 0, 0) 22 xy ab ab Giải: chuyển sang tọa độ rất suy rộng os 0 2 ;: sin 0 1 xarc J abr R R ybr r 1 21 1 222 2 1-r r a bdr (1 ) (1 ) 00 0 1 3 22 2 (1 ) 33 0 I dabrdr ab ab r lấy ví dụ 4 Tính diện tích miền giới hạn bởi Lemnixcat 222 222 ()2()(0)xy axy a Giải: Ta có: Diện tích A dxdy R gửi sang tọa độ rất phương trình của Lemnixcat là: 4222 2 22 2 (cos sin ) 2 cos 2rar ra vị tính đối xứng của miền đề nghị tìm diện tích nên. 2os2 2os2 444 222 4rdr2 22os2d2 0 00 0 0 ac ac Ad r d ac a 7 5.1.3. Ứng dụng của tích phân kép 1. Ứng dụng hình học tập a. Tính thể tích của đồ vật thể Thể tích của đồ gia dụng thể hình tròn m mặt bao bọc l phương diện trụ tất cả đường sinh tuy nhiên song với Oz, đáy là miền D trong khía cạnh phẳng Oxy, phía trên giới hạn vì chưng mặt cong z =f(x,y) , f (x,y) 0 và thường xuyên trên D mang đến bởi phương pháp : V = D dxdyyxf ),( lấy ví dụ như 1 : Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x 2 + y 2 = 1 phía trong mặt mong x 2 +y 2 +z 2 = 4. Lấy ví dụ 2 : Tính thể tích V của phần hình trụ số lượng giới hạn bởi khía cạnh x 2 + y 2 = 2x phía bên trong mặt ước x 2 +y 2 +z 2 = 4. B. Tính diện tích hình phẳng S = D dxdy ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = x 2 với x + y – 2 = 0 ví dụ như 2 : Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường y 2 = 4x với y = 2x c. Tính diện tích của phương diện Phương trình của phương diện là z = f(x,y) D = dxdyqp D 22 1 D: là hình chiếu của phương diện lên mặt phẳng Oxy và phường = x f , q = y f lấy một ví dụ : Tính diện tích phần của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trên mp Oxy . 2. Ứng dụng cơ học tập a. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất m = D dxdyyx ),( (x,y ) : cân nặng riêng của bạn dạng phẳng trên M(x,y) 8 lấy ví dụ như : Tính khối lượng của bạn dạng phẳng choán miền D xác minh bởi: x 2 + y 2 –R 2 0, x 0, y 0 biết rằng khối lượng riêng là (x,y ) = xy. B. Moment cửa hàng tính của bạn dạng phẳng I x = dxdyyxy D ),( 2 I y = dxdyyxx D ),( 2 I o = dxdyyxyx D ),()( 22 lấy ví dụ như 1 : Tính moment cửa hàng tính đối với gốc O của miền tròn D khẳng định bởi x 2 +y 2 -2Rx 0, biết cân nặng riêng (x,y) = 22 yx lấy ví dụ 2: Tính moment tiệm tính so với trục 0y của miền D khẳng định bởi 1 2 2 2 2 b y a x biết rằng (x,y) 1 c. Giữa trung tâm của bản phẳng Nếu bản phẳng D có trọng lượng riêng là hàm thường xuyên (x,y) thì tọa độ giữa trung tâm : x G = dxdyyx dxdyyxx ),( ),( , y G = dxdyyx dxdyyxy ),( ),( Nếu phiên bản phẳng đồng chất thì không đổi ,ta tất cả : x G = D xdxdy S 1 , y G = D ydxdy S 1 ( S là diện tích của miền D ). 5.2. Tích phân bội ba 5.2.1. Khái niệm tích phân bội tía 1. Định nghĩa mang đến hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian Oxyz. Phân tách miền V một bí quyết tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là V i (i = n,1 ) trong mỗi miền nhỏ dại V i lấy một điểm tuỳ ý M i (x i , y i , z i ) 9 Tổng I n = n i iiii Vzyxf 1 ).,,( được hotline là tổng tích phân của hàm f(x, y, z) bên trên miền V. Giả dụ n n I lim mãi sau không phụ thuộc vào phương pháp chia miền V và phương pháp lấy điểm M i thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI cha của hàm f(x, y, z) bên trên miền V. Ký hiệu: V d
Vzyxf ),,( ghi chú : trường hợp tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền V. Nếu phân tách miền V bằng những họ mặt phẳng song song với những mặt phẳng tọa độ thì d
V = dxdydz đề nghị ta có: v
V dxdydzzyxfd
Vzyxf ),,(),,( Tích phân bội ba cũng đều có các tính chất tương tự như tích phân kép. 2. Định lý. Giả dụ f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích trên miền kia . 5.2.2. Giải pháp tính tích phân bội tía 1. Phương pháp tính tích phân bội tía trong hệ tọa độ Đề những V dxdydzzyxf ),,( nếu như miền V được số lượng giới hạn bởi các mặt z = z 1 (x, y), z = z 2 (x, y) trong đó z 1 , z 2 là đa số hàm liên tiếp trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên mặt phẳng Oxy thì ta có: D yxz yxz dzzyxfdxdy
I ),( ),( ),,( 2 1 ví như miền D được giới hạn bởi các đường y = y 1 (x), y = y 2 (x) trong các số đó y 1 , y 2 là đông đảo hàm thường xuyên trên đoạn
Bạn đang xem: Tích phân hàm nhiều biến
3 Tính thể tích của khối số lượng giới hạn bởi các mặt y = 1+x2 , z = 3x , y = 5 , z = 0 và bên trong góc phần tám đầu tiên 5. 4 Tính thể tích của khối số lượng giới hạn bởi hai mặt trụ x2 +y2 = a2 cùng x2 +z2 = a2 5. 5 Tính diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường x = 4y-y2 , x+y = 6 5. 6 Tính diện tích của hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường x2+y2 = 2x , x2+y2 = 4x 5. 7 Tính diện tích của phần mặt... 2x 5. 8 Tính diện tích của phần mặt ước x2+y2 +z2= 4 nằm phía bên trong hình trụ x2+y2 = 2x 5. 9 Tính những tích phân bội cha sau 1 Tính dxdydz cùng với V là đồ thể giới hạn bởi khía cạnh x + y + z = 1 và các mặt v phẳng tọa độ 2 Tính xdxdydz với V là đồ vật thể số lượng giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 , z = 4 , x = v 0 , y = 0 3 Tính ydxdydz với V là đồ dùng thể giới hạn bởi các mặt y = x2, z + y = 1, z = 0 v 4 Tính. .. , z = 0 5 Tính ( x 2 y 2 )dxdydz cùng với V là vật dụng thể số lượng giới hạn bởi các mặt v x2 + y2 = 1, z = 0 , z = 1 6 Tính xyzdxdydz với V là trang bị thể giới hạn bởi những mặt 2 2 v x + y +z2=1, x 0 , y 0,z 0 7 Tính zdxdydz cùng với V là đồ vật thể số lượng giới hạn bởi các mặt x2 + y2 +z2 = 2, v z = x2 y2 5. 10 Tính thể tích của phần hình chỏm ước x2 + y2 +z2 = 4 phía trên mặt phẳng z=1 16 5. 11 Tính thể tích của... R2sin Tích phân bội bố trong tọa độ mong : I = f(r sin cos, r sin sin, r cos) r2sin drdd V ví dụ 1 Tính tích phân: I ( x 2 y 2 z 2 )dxdydz, cùng với số lượng giới hạn bởi những 2 2 2 2 2 2 mặt: x + y + z = 1, x + y + z = 4 gửi sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền giới hạn bởi: 1 r 2, 0 , 0 2 2 2 0 Vậy: I 0 1 4 d sin d r dr 124 5 lấy một ví dụ 2Tính tích phân: ... Trên mặt phẳng z=1 16 5. 11 Tính thể tích của thứ thể số lượng giới hạn bởi mặt parabolôit z = x2 + y2 cùng z = 1 5. 12 Tính thể tích của đồ gia dụng thể số lượng giới hạn bởi phương diện nón z2-x2-y2=0 (z>0) cùng mặt cầu x2 + y2 +z2 = 1 5. 13 Tính thể tích của vật dụng thể giới hạn bởi : a2 x2 + y2 +z2 4a2 với z 0 5. 14 Tính thể tích đồ dùng thể giới hạn bởi mặt nón z = 17 x 2 y 2 và mặt z=x2+y2 ... 10 5. 2.3 Ứng dụng của tích phân bội cha 1 Ứng dụng trong hình học Thể tích V của trang bị thể : V= dxdydz V lấy một ví dụ 1 Tính thể tích hình mong tâm O bán kính R Ta rất có thể tích hình mong : V () dxdydz , cùng với : x 2 y 2 z 2 R 2 chuyển sang hệ tọa độ ước ta có: Miền số lượng giới hạn bởi: 1 r R, 0 , 0 2 2 Vậy: V () R d d r 0 0 0 2 4 sin dr R 3 3 lấy ví dụ như 2 Tính. .. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 5.1 Tính các tích phân kép sau 1 I x ln ydxdy cùng với miền D là hình chữ nhật : 0 x 4 , 1 y 4 D 2 I ( cos 2 x sin 2 y )dxdy với miền D là hình vuông : 0 x D 4 ,0 y 3 I e x sin y cos ydxdy với miền D là hình chữ nhật : 0 x , 0 y D 2 4 4 I (2 x y )dxdy với miền D xác định bởi những đường : x = 1, x = 2 , y = x , y = x2 D 5 I ... Phẳng Oxy, z là tọa độ M theo trục z z x = r cos y = r sin z=z M (x, y, z) y x r M’ cos Định thức Jacobi : J = sin 0 r sin r cos 0 0 0 r0 1 Tích phân bội ba trong tọa độ trụ : I= f(r cos , rsin , z) r drddz V" lấy ví dụ 1 Tính tích phân: I ( x 2 y 2 )dxdydz, với số lượng giới hạn bởi các mặt: 2 2 z = x + y , z = 4 Hình chiếu xuống Oxy là hình tròn: x 2 y 2 4 chuyển sang tọa... 0 D 15 I ( x 2 y )dxdy cùng với D là miền giới hạn bởi các đường: y 0, y x 2 , x y 2 D 16 I ( x 2 xy )dxdy cùng với D là miền giới hạn bởi những đường: y x 2 , y x D 17 I ln( x 2 y 2 )dxdy cùng với D là miền giới hạn bởi những đường: x 2 y 2 R 2 D 18 I (12 3 x 2 4 y )dxdy cùng với D là miền giới hạn bởi elip: D 5. 2 Tính diện tích của miền D số lượng giới hạn bởi (các) mặt đường 15 x2 y2...x u D ( x, y , z ) y I= = D (u , y , w) u z u x v y v z v x w y 0 vào miền V’ trừ một trong những hữu hạn điểm w z w lúc đó ta bao gồm công thức thay đổi biến số : I= fSyxf ),( o D : miền đem tích phân o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân o d
S : yếu hèn tố diện tích s Ghi chú : Tích phân. ),,(),,( Tích phân bội ba cũng có thể có các tính chất giống như như tích phân kép. 2. Định lý. Trường hợp f(x, y, z) liên tiếp trên miền đóng, bị ngăn V thì khả tích bên trên miền đó . 5. 2.2. Cách tính tích phân
HÀM NHIỀU BIẾN2 GI˛I HẠN VÀ LIÊN TỤC3 ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT4 VI PHÂN5 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN6 CỰC TRỊ gồm ĐIỀU KIỆN
Bạn đang xem trước 20 trang tư liệu Toán học - Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, để xem tài liệu hoàn hảo bạn click vào nút download ở trên
PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂNHÀM NHIỀU BIẾNNguyễn Văn Phong
Toán cao cấp - MS: MAT1006Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30NỘI DUNG1 HÀM NHIỀU BIẾN2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC3 ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT4 VI PHÂN5 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆNNguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 30Hàm nhiều biến
Định nghĩa
Một hàm nhiều thay đổi f là một trong những quy tắcf : D ⊂ Rn → R(x1, x2, . . . , xn) 7→ z = f (x1, x2, . . . , xn)Ví dụ về hàm hai biến
Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán thời thượng - MS: MAT1006 2 / 30Đồ thị
Định nghĩa
Nếu f là hàm hai biến xác minh trên miền D thì đồ vật thịcủa f được tư tưởng là tập hợp các điểm (x , y , z)trong R3 làm sao cho z = f (x , y) cùng (x , y) ∈ DNguyễn lối hành văn (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán thời thượng - MS: MAT1006 3 / 30Nguyễn lối hành văn (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán thời thượng - MS: MAT1006 4 / 30Giới hạn hàm hai biến
Định nghĩa
Cho hàm f xác minh trên D ⊂ R2, với (a, b) ∈ D. Khi đó,ta nói giới hạn của f (x , y) lúc (x , y) tiến về (a, b) là L,ta viếtlim(x ,y)→(a,b)f (x , y) = Lnếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho, nếu(x , y) ∈ D với 0 0,∃δ > 0 : (∀x ∈ D) ∧ (0 f (a, b) thì (a, b)được điện thoại tư vấn là rất tiểu địa phương của f .2) giả dụ ∀(x , y) ∈ N(a,b) : f (x , y) 6 f (a, b) thì (a, b)được gọi là cực to địa phương của f .Điểm (a, b) có cách gọi khác là cực trị địa phương của f
Nguyễn lối hành văn (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 đôi mươi / 30Cực trị hàm hai biến
Cực trị cục bộ (Max, Min)Nếu f (x , y) đạt rất trị trên D, với D là miền xác định,thì (a, b) được gọi là rất trị toàn cục của f tuyệt f đạt giátrị lớn nhất, (nhỏ nhất) tại (a, b)Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán thời thượng - MS: MAT1006 21 / 30Điều kiện cần
Định lýNếu f đạt rất trị địa phương tại (a, b) và những đạo hàmriêng cấp cho một của f tồn tại, thìfx(a, b) = 0 cùng fy(a, b) = 0Nhân xét.Điểm (a, b) được gọi là vấn đề dừng của f .Chiều trái lại của định lý không đúng.Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 30Ví dụ
Ví dụ 1. đến f (x , y) = x2 + y 2 − 2x − 6y + 14Ta có{fx = 2x − 2 = 0fy = 2y − 6 = 0 ⇒{x = 1y = 3Nên f có một điểm dừng là (1, 3)Do f (x , y) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3)với hầu hết x , y , phải f đạt cực tiểu tại (1, 3)Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 30Ví dụ
Ví dụ 2. Mang lại f (x , y) = y 2 − x2Ta tất cả fx = −2x ; fy = 2y yêu cầu f tất cả một trạm dừng là (0, 0).Mặt không giống f (x , 0) = −x2 0, y 6= 0.Trên N(0,0), theo phương Ox hàm f cực đại, theo phương Oyhàm f cực tiểu.Do kia điểm (0, 0) không là cực trị của f .Nguyễn văn phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán thời thượng - MS: MAT1006 24 / 30Điều kiện đủ
Định lýNếu những đạo hàm riêng trung học phổ thông của f (x , y) vĩnh cửu trên
N(a,b) với fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0. Ta đặt∆ = fxx(a, b)fyy(a, b)−
Nếu d 2L(x0, y0) tài liệu liên quan
