Áp dụng bất đẳng thức côsi, bất đẳng thức côsi và ứng dụng

Bất đẳng thức Cosi là giữa những kiến thức toán học tập phổ biến, được áp dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau tương tự như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team Marathon Education để giúp các em nắm rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi mang đến 2 số, mang lại 3 số, dạng tổng quát và hệ quả với một trong những bài tập vận dụng có đáp án.

Bạn đang xem: Áp dụng bất đẳng thức côsi

Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức cổ điển trong toán học, xuất phát điểm từ bất đẳng thức thân trung bình cùng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi bên toán học bạn pháp Augustin – Louis Cauchy. Không tính tên Cosi, nhiều người nói một cách khác là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean với Geometric Mean).

Các dạng màn biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi rất có thể được biểu diễn bằng dạng tổng thể hoặc dưới nhiều dạng quan trọng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với những số thực ko âm x1, x2,…, xn ta hoàn toàn có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 = … = xn

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức bao quát và những dạng quánh biệt, ta bao gồm 2 hệ quả đặc trưng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ bên dưới đây. Các hệ trái này hay được vận dụng nhiều trong việc đào bới tìm kiếm giá trị lớn số 1 và giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức.

Hệ trái 1: nếu như tổng của 2 số dương không thay đổi thì tích của bọn chúng lớn nhất lúc 2 số đó bằng nhau.Hệ quả 2: giả dụ tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm

Với 2 số thực không âm a cùng b, ta thấy lúc a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn luôn đúng. Thời gian này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.

Cách chứng tỏ như sau:

eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn luôn đúng với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều bởi 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng
Với a, b, c dương, ta chứng tỏ BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned

eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với n số thực ko âm

Theo chứng tỏ bất đẳng thức Cosi cùng với 2 số dương ta được biểu thức luôn luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.

Do đó, để chứng tỏ bất đẳng thức luôn đúng cùng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách minh chứng như sau:

x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc điểm quy nạp thì bất đẳng thức này đúng cùng với n là một trong lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta minh chứng được nó luôn đúng cùng với n-1 số như sau:

eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi cùng với 2n số cùng (n – 1) số luôn luôn đúng, từ kia ta rất có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn luôn đúng.

Xem thêm: Hướng dẫn cách vẽ hoa tuyết đơn giản và đẹp(có video), cách vẽ bông tuyết

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy triệu chứng minh:

eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều buộc phải chứng minh)endaligned
Đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: chuyển đổi nhân chia, thêm, sút một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng tỏ rằng:

eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều cần chứng minh)endaligned

Qua bài viết trên đây, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các em toàn bộ nội dung tương quan đến bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao gồm định nghĩa, hệ quả, cách minh chứng cùng với đầy đủ dạng bài xích tập thường gặp mặt có đáp án đưa ra tiết. Hi vọng với những kiến thức và kỹ năng này, các em rất có thể giải giỏi các bài xích tập tương quan đến bất đẳng thức Côsi trong các bài kiểm soát toán sắp đến tới.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được support nếu những em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em đạt điểm cao trong các bài soát sổ và kỳ thi sắp tới!

Marathon – gốc rễ lớp học tập trực tuyến đường hàng đầu, cung cấp phương án giáo dục toàn vẹn ngoài trường học mang đến tất cả học sinh trên toàn nước với chất lượng tốt nhất!Tìm phát âm thêm về Marathon tại:

Địa chỉ 1: Tầng 9, Tòa công ty Lim Tower 3, 29A Nguyễn Đình Chiểu, Phường Đa Kao, Quận 1, TP. Hồ nước Chí Minh.

Địa chỉ 2: tầng trệt dưới – 3 ,Tòa nhà Yoko Building, 677/6 Điện Biên Phủ, Phường 25, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh

Bất đẳng thức Côsi là trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên và đúng là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, không ít người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean cùng GM là viết tắt của Geometric mean). Vị nhà toán học tín đồ Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), fan đã giới thiệu một cách chừng mình rực rỡ nên đa số người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Nó ứng dụng không ít trong những bài Toán về bất đẳng thức và rất trị. Vào phạm vi chương trình Toán THCS, họ quan vai trung phong đến các trường thích hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.

1. Các dạng trình diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng tổng thể bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực ko âm ta có:

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

b) những bất đẳng thức côsi quánh biệt

c) một số bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy

d) chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức cô đắm đuối thì các số phải là gần như số ko âm
Bất đẳng thức côsi hay được áp dụng khi vào BĐT cần chứng tỏ có tổng cùng tích
Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường tuyệt sử dụng

Đối với nhị số:

$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$

Đối với ba số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$

2. Những dạng bài bác tập

Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ: cho a, b là số dương vừa lòng a2 + b2 = 2. Chứng tỏ rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$

Lời giải

Dạng 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng tỏ BĐT ta thường xuyên phải biến hóa (nhân chia, thêm, giảm một biểu thức) để tạo nên biểu thức rất có thể giản mong được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi gặp gỡ BĐT gồm dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi minh chứng x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng những BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều đề xuất chứng minh.Khi bóc và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc đảm bảo dấu bởi xảy ra(thường vết bằng xẩy ra khi các biến đều bằng nhau hoặc trên biên).

Ví dụ: cho a, b, c là số dương vừa lòng a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải